Ecuaciones de Normalidad

    En estadística, la normalidad se refiere a la distribución normal, que es una distribución de probabilidad continua con una forma característica en forma de campana. La ecuación de normalidad se utiliza para determinar la probabilidad de que una variable aleatoria X siga una distribución normal.

La ecuación de normalidad está dada por:

P(a < X < b) = Φ(b) - Φ(a)

donde:

• P(a < X < b) es la probabilidad de que X esté en el intervalo (a, b)
• Φ(a) y Φ(b) son los valores de la función de distribución acumulada (CDF) de la distribución normal en a y b, respectivamente.

La función de distribución acumulada (CDF) de la distribución normal está dada por:

Φ(x) = (1 / (σ * √(2π))) * ∫(-∞,x) e^(-(t-μ)² / (2σ²)) dt

donde:

• μ es la media de la distribución normal
• σ es la desviación estándar de la distribución normal

    La ecuación de normalidad es útil para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria siga una distribución normal. También se puede utilizar para determinar los valores críticos de una distribución normal estándar, que son los valores que delimitan un intervalo de confianza determinado. Por ejemplo, si se desea calcular un intervalo de confianza del 95% alrededor de la media de una distribución normal, se pueden utilizar los valores críticos correspondientes a un intervalo de confianza del 95%, que son -1.96 y 1.96 para una distribución normal estándar.

Ejemplo:

    Supongamos que el tiempo de duración de las baterías de un dispositivo electrónico sigue una distribución normal con una media de µ = 30 horas y una desviación estándar de Σ = 4 horas. Queremos calcular la probabilidad de que una batería dure entre 25 y 35 horas.

Primero, calculamos la probabilidad de que una batería dure menos de 35 horas:

$\mathrm{\Phi }(35)=\frac{1}{�\sqrt{2�}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{35}{�}^{-\frac{(�-�{)}^2}{2{�}^2}}��$

$\mathrm{\Phi }(35)=\frac{1}{4\sqrt{2�}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{35}{�}^{-\frac{(�-30{)}^2}{32}}��$

$\mathrm{\Phi }(35)=0.9772$

Luego, calculamos la probabilidad de que una batería dure menos de 25 horas:

$\mathrm{\Phi }(25)=\frac{1}{�\sqrt{2�}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{25}{�}^{-\frac{(�-�{)}^2}{2{�}^2}}��$

$\mathrm{\Phi }(25)=\frac{1}{4\sqrt{2�}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{25}{�}^{-\frac{(�-30{)}^2}{32}}��$

$\mathrm{\Phi }(25)=0.0228$

Finalmente, la probabilidad de que una batería dure entre 25 y 35 horas es la diferencia de estas dos probabilidades:

$�(25<�<35)=\mathrm{\Phi }(35)-\mathrm{\Phi }(25)$

$�(25<�<35)=0.9772-0.0228$

$�(25<�<35)=0.9544$

Por lo tanto, hay una probabilidad del 95.44% de que una batería dure entre 25 y 35 horas.